「3」で割り切れるのはどれ?少しだけ役に立つクイズ【4】

「3」で割り切れるのはどれ?少しだけ役に立つクイズ【4】

     
    暇つぶしになりつつ、少しだけ役に立つ(?)クイズ」第四弾。

     
    今回は「3で割り切れるのはどれ?」。

    例題

    例えば、次の4つの数字の中で「3」で割り切れるのはどれでしょうか?
    (正解だと思うものをクリックしてください。)

    正解!お見事!
    残念!不正解!

    解答&補足説明

    5÷3=1 余り2
    6÷3=2
    7÷3=2 余り1
    8÷3=2 余り2

    となるので、「3」で割り切れるのは「」です。

     
    こんな感じで「3で割り切れるもの」を答えてください。

    問題1

    次の数字の中で、「3」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!

    解答&補足説明

    24÷3=8
    31÷3=10 余り1
    35÷3=11 余り2

     
    となるので、答えは「24」。

    これは余裕ですよね。

     
    では次はどうでしょうか?

    問題2

    次の数字の中で、「3」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!

    解答&補足説明

    正解は「546」。

    暗算でも、もちろんOKです。

    でも、暗算が苦手な人には少し難しいと思います。

     
    そんな時に使えるのが、

    各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる

    という法則。

     
    この法則を利用すれば、どの数字が「3」で割り切れるのかを一瞬で判断できます。

    例えば、「546」であれば・・・

    例えば、「546」であれば、

    百の位は「5」
    十の位は「4」
    一の位は「6」

    なので、各位の数の和は、

    「5」+「4」+「6」=15

    となります。

     
    「15」は「3」で割り切れます。

    つまり、「各位の数の和」が「3」で割り切れます。

     
    各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる」ので、「543」は「3」で割り切れる。

     
    こんな感じで物凄く簡単に「3」で割り切れるかどうかを判断できます。

     
    ケタ数が多くなればなるほど、この法則が威力を発揮します。

    例えば、次のような問題。

    問題3

    次の数字の中で、「3」で割り切れるのはどっち?

    正解!お見事!
    残念!不正解!

    解答&補足説明

    正解は「202413」。

     
    それぞれの各位の数の和を計算してみると、

     
    102323の各位の数の和は

    1+0+2+3+2+3=11
    →3で割り切れない

     
    202413の各位の数の和は

    2+0+2+4+1+3=12
    →3で割り切れる

     
    だから「202413」は「3」で割り切れる。

    こんな感じで簡単に「3」で割り切れるかどうかを判断できます。

    なんで「各位の数の和」に注目するの?


    ※ 数式が出てきます。「数式見るだけで頭痛が・・・」。そんな方は飛ばしてください。

    各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる

     
    なんで「各位の数の和」に注目するのでしょうか?

    もちろん理由があります。

     
    「546」で考えてみたいと思います。

    「546」を変形すると・・・

    「546」を変形してみます。

    少しごちゃごちゃしますが、決して難しい計算ではありません。

    中学校で因数分解・展開を習った人であれば必ず理解できます。頑張ってついてきてください。

     
    546

    500+40+6

    5×100+4×10+6

    5×(1+99)+4×(1+9)+6

    5+5×99+4+4×9+6

    =(5+4+6)+5×99+4×9

    =(5+4+6)+9×(5×11+4)

    =(5+4+3)+3×3×(5×11+4)

     
    つまり、

    546

    =「各位の数の和」+「×〇〇」

    こんな形に変形できました。

    どんな数字でもこの形に変形できる

    各位の数の和」+「×〇〇」

     
    実は、「546」だけでなく、どんな数字(※)でもこの形に変形することができます。

     
    もし、「各位の数の和」が3で割り切れるのであれば

    各位の数の和」+「×〇〇」

    =「×◇◇」+「×〇〇」

    ×「◇◇+〇〇」

    こんな形に変形できるはず。

    つまり、「3」で割り切れるということ。

     
    すなわち、「各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる」ということです。

     
    ※ 正確には「正の整数」の場合。「負の整数」の場合は、マイナスの処理が必要になりますが、基本的には同じです。詳細は省略します。

    なんでこんな面倒くさいことを説明したのか?

    ごちゃごちゃと数式を並べたのでうんざりされたかもしれません。

    そうなんです。

    数学の証明ってうんざりするものばかりなんです。

     
    でも、あえて説明しました。

    理由は、「なぜそうなるのか?」を理解することがとても重要だから。

     
    「各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる」

    とだけ、覚えても問題は解けるようになります。

     
    でも、それだけでは薄っぺらい知識になってしまいますし、危険でもあります。

    これは数学に限った話ではありません。

    デマに流されにくくなる

    「なぜ、そうなるのか」を自分でしっかりと考えることで、デマに流されにくくなります。

    逆に、表面上だけの情報を取り入れてしまうと、デマに流されやすくなります。

    テレビで「〇〇と言っていた」
    ネットで「〇〇と言っていた」
    あの人が「〇〇と言っていた」

    こんな情報に振り回されてしまいます。本当かどうかもわからないのに。

     
    例えば、

    「各位の数の和が6で割り切れれば、6で割り切れる」

    これはデマなんですが、「なぜそうなるか」を理解していない場合、本当に信じてしまう可能性があります。

     
    例えば、「246」という数字。

    「246」は「6」で割り切れる数字なんですが、各位の数の和も「12」なので「6」で割り切れます。

     
    この数字(246)だけを見せられて、「各位の数の和が6で割り切れれば、6で割り切れる」と言われれば、「あっ、本当だ!」と思ってしまう人が少なからずいます。

    この情報を鵜呑みにしてしまった場合、受験などでは減点されてしまいます。

    自分も損するし、場合によっては、その情報を伝えてしまった周りの人にも迷惑をかける可能性があります。

     
    「なぜそうなるのか」を理解することで、このようなデマによる被害を減らすことができます。

    新たな発見ができるかも

    あと、「新たな発見」をできる可能性もあります。

     
    例えば、先ほどのごちゃごちゃした式の中に

    5+4+6)+9×(5×11+4)

    という式があります。

    これは

    各位の数の和」+「×〇〇」

    という形。

     
    つまり、

    「各位の数の和が9で割り切れれば、9で割り切れる」

    ということです。

     
    このように、「なぜそうなるか」を理解することで、「新たな発見」をできる可能性があります。

    「〇」で割り切れるまとめ

    ここまでは

    各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる
    各位の数の和が9で割り切れれば、9で割り切れる

    について紹介しました。

     
    他にもありますので、それらも紹介したいと思います。

    「2」で割り切れるのは?

    末尾の数が偶数ならば、2で割り切れる

    例えば、2、3など。

    「3」で割り切れるのは?

    各位の数の和が3で割り切れれば、3で割り切れる

    理由は先述のため省略。

    「4」で割り切れるのは?

    下2桁が4で割り切れれば、4で割り切れる

    例えば、7524、12536など。

    なぜかというと・・・


    ※ 数式が出てきます。「数式見るだけで頭痛が・・・」。そんな方は飛ばしてください。

    「7524」であれば、次のように変形できます。

    7524

    =7500+24

    =75×100+24

    =75××25+24

     
    こんな感じで「100」が出てくるところは、必ず「4」で割り切れます。

    つまり、3桁以上のところは、「4」で割り切れるということ。

     
    つまり、「下2桁が4で割り切れれば、4で割り切れる」ということです。

    「5」で割り切れるのは?

    末尾の数が0または5ならば、5で割り切れる

    例えば、2、3など。

    「6」で割り切れるのは?

    末尾の数が偶数でかつ、各位の数の和が3で割り切れれば、6で割り切れる

    例えば、24、36など。

    「8」で割り切れるのは?

    下3桁が8で割り切れれば、8で割り切れる

    例えば、23824、12032など。

    なぜかというと・・・


    ※ 数式が出てきます。「数式見るだけで頭痛が・・・」。そんな方は飛ばしてください。

    「23824」であれば、次のように変形できます。

    23824

    =23000+824

    =23×1000+824

    =23××125+24

     
    こんな感じで「1000」が出てくるところは、必ず「8」で割り切れます。

    つまり、4桁以上のところは、「8」で割り切れるということ。

     
    つまり、「下3桁が8で割り切れれば、8で割り切れる」ということです。

    「9」で割り切れるのは?

    各位の数の和が9で割り切れれば、9で割り切れる

    理由は先述のため省略。

    さいごに問題にチャレンジ

    「〇」で割り切れる問題をまとめてみました。ぜひチャレンジしてみてください。

    「2」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「2」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「310」。

    末尾が偶数だから。

    「3」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「3」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1113」。

    各位の和が3で割り切れるから。
    (1+1+1+3=6)

    「4」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「4」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1112」。

    下2桁が4で割り切れるから。
    (1112

    「5」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「5」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1110」。

    末尾の数字が0だから。

    「6」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「6」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1116」。

    末尾の数が偶数でかつ、各位の数の和が3で割り切れるから。

    「8」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「8」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1024」。

    下3桁が8で割り切れるから。
    (1024

    「9」で割り切れるのはどれ?

    次の数字の中で、「9」で割り切れるのはどれ?

    正解!お見事!
    残念!不正解!
    正解は「1026」。

    各位の数の和が9で割り切れるから。
    (1+0+2+6=9)

     
    今回のクイズはここまでです。お疲れ様でした。

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